9. hodina - Tangens a kotangens - poměry sinu a kosinu
2MEO • Goniometrie a trigonometrie • 45 minut
Žák zavede tangens a kotangens pomocí sinu a kosinu, určí jejich definiční omezení, znaménka v kvadrantech a přesné hodnoty pro významné úhly.
Kritéria úspěchu
- vysvětlím tan α = sin α / cos α a cot α = cos α / sin α
- poznám, kdy tangens nebo kotangens není definován
- určím znaménko tan a cot podle kvadrantu
- určím přesné hodnoty pro 30°, 45°, 60° a související úhly
Aktivace
Připomeň P=(cos α, sin α). Otázka: co se stane s poměrem sin α / cos α, když cos α = 0?
Zavedení tangentu
Odvoď tan α = sin α / cos α. Spoj s poměrem y/x na jednotkové kružnici.
Kdy tangens neexistuje
cos α = 0 -> tan α není definován. Kritické úhly 90° + k·180°.
Zavedení kotangentu
Odvoď cot α = cos α / sin α. sin α = 0 -> cot α není definován; úhly k·180°.
Znaménka v kvadrantech
I: tan+, cot+; II: -, -; III: +,+; IV: -, -. Neučit jako izolovanou tabulku - odvodit ze znamének sin/cos.
Přesné hodnoty
tan 30°=√3/3, tan45°=1, tan60°=√3; cot jsou převrácené. Procvičit 120°, 225°, 330°.
Práce s chybou
AI: tan 90° = 1/0 = 0. Žáci vysvětlí, proč je tvrzení chybné.
Exit ticket
tan45°? cot45°? Je tan90° definován? Znaménko tan120°? Přesně tan330°?
Klíčové shrnutí
- Tangens: tan α = sin α / cos α; existuje jen tehdy, když cos α ≠ 0.
- Kotangens: cot α = cos α / sin α; existuje jen tehdy, když sin α ≠ 0.
- Znaménka: tan i cot jsou kladné v I. a III. kvadrantu, záporné ve II. a IV.
- Významné úhly: tan30°=√3/3, tan45°=1, tan60°=√3; cot30°=√3, cot45°=1, cot60°=√3/3.
EDUvia4X® - kontrola porozumění
Nejdřív odhad a vysvětlení, teprve potom případné digitální ověření. Sleduj znaménko, referenční úhel a definiční omezení.