30°, 45°, 60°: hodnoty, které nemusíme lovit v kalkulačce
8. vyučovací hodina: významné úhly a přesné hodnoty sinu a kosinu.
Školní rok 2026/2027 • realizace: 5. 10. 2026
Minule jsme zjistili, že bod na jednotkové kružnici má souřadnice P = (cos α, sin α). Dnes využijeme dva jednoduché trojúhelníky a odvodíme přesné hodnoty pro 30°, 45° a 60°.
Cíle, kritéria úspěchu a způsob práce
Vzdělávací cíl
Žák odvodí a používá přesné hodnoty sinu a kosinu pro úhly 30°, 45° a 60°, propojí je s jednotkovou kružnicí a pomocí znamének určí hodnoty souvisejících úhlů v dalších kvadrantech.
Kritéria úspěchu
- znám přesné hodnoty sin a cos pro 30°, 45° a 60°,
- umím je odvodit z trojúhelníku, ne jen opsat z tabulky,
- využiji znaménka kvadrantu pro související úhly,
- rozliším přesnou a desetinnou hodnotu,
- dokážu výsledek zkontrolovat podle jednotkové kružnice.
Rozvíjené kompetence
- k řešení problémů – odvození hodnot z geometrie,
- komunikativní – vysvětlení postupu vlastními slovy,
- digitální – ověření v GeoGebře / kalkulačce až po odhadu,
- k učení – propojení trojúhelníku a jednotkové kružnice.
Formativní hodnocení
Predikce, krátké párové odvozování, kontrola chybné odpovědi AI a exit ticket.
Pilíře EDUvia4X® v hodině
🧭 Mentorství
Tabulku hodnot nedáme jako hotovou. Žáci ji postupně postaví z geometrie.
🧠 Kritické myšlení
Každou hodnotu lze rychle zkontrolovat: sin 30° musí být menší než sin 60°, hodnoty leží mezi −1 a 1.
🤖 Digitální nástroje / AI
Kalkulačka a GeoGebra slouží ke kontrole přesné hodnoty až po odvození. AI dostane záměrně jednu chybnou odpověď.
⚖️ Etika
Digitální nástroj nenahrazuje vysvětlení. Žák má umět říct, odkud hodnota pochází.
🎯 Sebehodnocení
Na konci žák označí, které hodnoty už zvládá bez nápovědy.
8. hodina – Významné úhly: 30°, 45°, 60°
Cíl: Žák odvodí a používá přesné hodnoty sinu a kosinu pro úhly 30°, 45° a 60°, propojí je s jednotkovou kružnicí a pomocí znamének určí hodnoty souvisejících úhlů v dalších kvadrantech.
1. Aktivace – co už víme z kružnice
Rozklikni po odpovědích žáků
Návaznost na 7. hodinu: připomeň P = (cos α, sin α) a znaménka v I. kvadrantu.
2. Úhel 45° – půlka čtverce
odvěsny 1 a 1 → přepona √2
po vydělení přeponou: odvěsny = 1/√2 = √2/2
Proč jsou sinus a kosinus stejné?
3. Úhly 30° a 60° – půlka rovnostranného trojúhelníku
výška ho rozdělí na trojúhelníky 30°–60°–90°
strany: 1, √3, 2
sin 30° = 1/2
cos 30° = √3/2
sin 60° = √3/2
cos 60° = 1/2
Kontrola bez počítání
4. Sestavíme tabulku sami
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
Pomůcka pro zapamatování
5. Přeneseme hodnoty do dalších kvadrantů
Řešení
Další rychlé otázky: sin 150°, cos 150°, sin 225°, cos 315°.
Výsledky
6. Práce s chybou – AI zaměnila souřadnice
„Odpověď AI“: Pro 30° platí sin 30° = √3/2 a cos 30° = 1/2.
Najdi chybu bez kalkulačky
7. Mini výzva ve dvojici
| Úhel | sin α | cos α |
|---|---|---|
| 30° | ? | ? |
| 135° | ? | ? |
| 240° | ? | ? |
| 330° | ? | ? |
Řešení
8. Exit ticket
1. sin 30° = ?
2. cos 60° = ?
3. sin 45° = ?
4. Jaké znaménko má cos 120°?
5. Urči přesně sin 150°.
6. 🟢 zvládám | 🟡 potřebuji procvičit | 🔴 potřebuji znovu vysvětlit
Řešení
Návaznost
Dnes jsme doplnili přesné hodnoty sinu a kosinu pro významné úhly. V 9. hodině můžeme na jednotkové kružnici zavést tangens a kotangens a porovnat, kde jsou definované a jaká mají znaménka.
Doporučené výukové aplikace
GeoGebra
Posuvník α a zobrazení souřadnic bodu pro 30°, 45°, 60° a jejich obrazy v dalších kvadrantech.
EDUvia4X®
Vesmírná mise procvičí přesné hodnoty, referenční úhel a znaménka v kvadrantech.
Dokumentace probíraného učiva
8. hodina – 2MEO: přesné hodnoty sin a cos pro 30°, 45°, 60°; odvození z trojúhelníků 45°–45°–90° a 30°–60°–90°; použití jednotkové kružnice a znamének pro související úhly.