Matematika1MEODělitelnost45 minutEDUvia4X®

Kdy se potkají dělitelé a kdy násobky?

14. vyučovací hodina: Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek

Školní rok 2026/2027 • realizace: 5. 10. 2026

Minule jsme rozkládali čísla na prvočinitele. Dnes ten rozklad použijeme jako nástroj pro hledání NSD a NSN a pro řešení praktických situací.

Cíle, kritéria úspěchu a způsob práce

Vzdělávací cíl

Žák určí NSD a NSN dvou přirozených čísel pomocí rozkladu na prvočinitele a rozliší, kdy v praktické úloze hledá společné dělení a kdy společné opakování.

Kritéria úspěchu

rozložím obě čísla na prvočinitele
pro NSD vyberu společné prvočinitele s menšími exponenty
pro NSN vezmu všechny potřebné prvočinitele s většími exponenty
rozeznám úlohu na NSD a NSN
výsledek ověřím

Kompetence

Řešení problémů, argumentace, práce s informacemi, digitální kontrola a aplikace matematiky v odborných situacích.

Formativní hodnocení

Predikce, párové úlohy, práce s chybou AI a exit ticket.

Pilíře EDUvia4X®

🧭 Mentorství

Učitel vede otázkami: Hledáme největší společné rozdělení, nebo první společné setkání?

🧠 Kritické myšlení

Žák nepočítá mechanicky – nejdřív určí význam situace.

🤖 AI

Žák zkontroluje návrh AI a odhalí záměnu pravidla pro NSD a NSN.

🎯 Sebehodnocení

Na konci žák rozliší, zda zvládá výpočet i volbu správné metody.

0–5 min

1. Start: připomenutí rozkladu

Rozlož 36 a 48 na prvočinitele.

Řešení

36 = 2² · 3², 48 = 2⁴ · 3.

Otázka: Co mají oba rozklady společného?

5–13 min

2. NSD – největší společný dělitel

Hledáme největší číslo, které beze zbytku dělí obě čísla.

36 = 2² · 3² 48 = 2⁴ · 3

NSD(36,48) = 2² · 3 = 12

Pravidlo: vezmi jen společné prvočinitele a u každého menší exponent.

Proč menší exponent?

Společný dělitel nesmí obsahovat více stejných prvočinitelů, než kolik jich má některé z čísel.

13–21 min

3. NSN – nejmenší společný násobek

Hledáme nejmenší kladné číslo, které je násobkem obou čísel.

36 = 2² · 3² 48 = 2⁴ · 3

NSN(36,48) = 2⁴ · 3² = 144

Pravidlo: vezmi všechny prvočinitele, které se v rozkladech objeví, a u každého větší exponent.

Proč větší exponent?

Společný násobek musí obsahovat dostatek každého prvočinitele, aby byl dělitelný oběma původními čísly.

21–29 min

4. Dvojice – jeden příklad, dvě otázky

Pro čísla 60 a 84 určete NSD i NSN.

Řešení

60 = 2² · 3 · 5, 84 = 2² · 3 · 7.
NSD = 2² · 3 = 12.
NSN = 2² · 3 · 5 · 7 = 420.

Kontrola: 12 dělí obě čísla. 420 je dělitelné 60 i 84.

29–36 min

5. V praxi – rozdělení nebo setkání?

A) Máme 48 červených a 60 modrých součástek. Chceme je rozdělit do co největšího počtu stejných sad bez zbytku. Kolik sad?

B) Dva servisní cykly se opakují po 12 a 18 dnech. Za kolik dní nastanou znovu současně?

Řešení

A) NSD(48,60) = 12 → 12 stejných sad. Každá má 4 červené a 5 modrých součástek.

B) NSN(12,18) = 36 → oba cykly nastanou současně za 36 dní.

Vodítko: rozděluji do největších stejných skupin → NSD. Hledám první společné opakování → NSN.

36–41 min

6. Kontrola AI

AI tvrdí: „Pro NSD(72, 120) vezmu u každého prvočinitele větší exponent.“ Je to správně?

Najdi chybu

Ne. Větší exponent patří k NSN. Pro NSD bereme menší exponenty společných prvočinitelů.
72 = 2³ · 3², 120 = 2³ · 3 · 5 → NSD = 2³ · 3 = 24.

41–43 min

7. Mini výzva

Dvojice	NSD	NSN
18 a 30	?	?
24 a 40	?	?

Řešení

18 a 30: NSD = 6, NSN = 90.
24 a 40: NSD = 8, NSN = 120.

43–45 min

8. Exit ticket

1) NSD(20,30) = ? 2) NSN(20,30) = ? 3) Pro NSD beru menší nebo větší exponent? 4) Dva cykly se mají znovu potkat – NSD, nebo NSN?

Řešení

1) 10. 2) 60. 3) Menší. 4) NSN.

Kam míříme dál?

Touto hodinou uzavíráme blok přirozených a celých čísel a dělitelnosti. V 15. hodině přejdeme k racionálním a reálným číslům a různým zápisům reálného čísla.