MatematikaGoniometrie a trigonometrie45 minutEDUvia4X®

Z úhlu vznikne bod. Z bodu hodnoty funkcí.

7. vyučovací hodina: zavedení goniometrických funkcí na jednotkové kružnici – sinus a kosinus jako souřadnice bodu.

Školní rok 2026/2027 • realizace: 2. 10. 2026

V minulé hodině jsme tentýž úhel zapisovali ve stupních i radiánech. Teď úhel umístíme na jednotkovou kružnici a budeme sledovat bod, ve kterém jeho koncové rameno kružnici protne. Jeho souřadnice nám dají hodnoty sinu a kosinu.

Cíle, kritéria úspěchu a způsob práce

Vzdělávací cíl

Žák chápe jednotkovou kružnici jako kružnici se středem v počátku a poloměrem 1 a vysvětlí, že pro bod P na koncovém rameni úhlu platí P = (cos α, sin α).

Kritéria úspěchu

poznám jednotkovou kružnici a její základní body,
určím znaménko sinu a kosinu podle kvadrantu,
pro základní osové úhly určím sin a cos bez kalkulačky,
propojím úhel ve stupních a radiánech se stejným bodem,
dokážu vlastními slovy vysvětlit, proč je cos x-ová a sin y-ová souřadnice.

Rozvíjené kompetence

k řešení problémů – čtení informace z geometrického modelu,
komunikativní – vysvětlení vztahu mezi úhlem a souřadnicemi,
digitální – ověření modelu v GeoGebře nebo kalkulačce,
k učení – návaznost stupňů, radiánů a funkcí.

Formativní hodnocení

Predikce, práce s chybou, rychlé otázky podle kvadrantu, párové úlohy a exit ticket.

Pilíře EDUvia4X® v hodině

🧭 Mentorství

Žáci nedostanou tabulku hodnot jako první. Nejprve z polohy bodu na kružnici sami odvodí, co mohou znamenat jeho souřadnice.

🧠 Kritické myšlení

Žák kontroluje výsledek podle polohy bodu: vpravo musí být cos kladný, nahoře sin kladný apod.

🤖 Digitální nástroje / AI

GeoGebra nebo kalkulačka slouží ke kontrole. Nejprve predikce z kružnice, potom digitální ověření.

⚖️ Etika

Digitální odpověď má smysl jen tehdy, když žák dokáže vysvětlit její znaménko a přibližnou velikost.

🎯 Sebehodnocení

Na konci žák označí, zda umí z kvadrantu určit znaménka a vysvětlit význam souřadnic.

7. hodina – Jednotková kružnice: odkud se berou sinus a kosinus?

Cíl: Žák propojí orientovaný úhel s bodem na jednotkové kružnici a chápe sinus a kosinus jako jeho souřadnice.

0–5 min

1. Aktivace – stejný úhel, stejný směr

Kde na kružnici skončí úhel 90° = π/2 rad? A kde 180° = π rad?

Rozklikni po odpovědích žáků

90° = π/2 míří nahoru, 180° = π míří doleva. Zápis jednotky se změnil, ale směr koncového ramene zůstává stejný.

Návaznost: krátce připomeň 180° = π rad. Převody už nejsou hlavním cílem – použijeme je jako známý jazyk pro popis polohy.

5–13 min

2. Jednotková kružnice

Kružnice má střed v počátku souřadnicové soustavy a poloměr r = 1. Počáteční rameno úhlu leží na kladné poloose x.

x² + y² = 1

Proč právě poloměr 1?

Protože se tím souřadnice bodu zjednoduší: vodorovná souřadnice přímo odpovídá kosinu a svislá sinu. Hodnoty jsou vždy mezi −1 a 1.

13–21 min

3. AHA moment – bod P = (cos α, sin α)

Koncové rameno úhlu α protne jednotkovou kružnici v bodě P.

P = (x, y) = (cos α, sin α)

cos α = x
vodorovná souřadnice bodu

sin α = y
svislá souřadnice bodu

Kontrolní otázka → Bod leží úplně nahoře. Jaké má souřadnice?

P = (0, 1). Proto cos 90° = 0 a sin 90° = 1.

21–29 min

4. Čtyři základní směry

Úhel	Radiány	Bod P	cos α	sin α
0°	0	(1, 0)	1	0
90°	π/2	(0, 1)	0	1
180°	π	(−1, 0)	−1	0
270°	3π/2	(0, −1)	0	−1
360°	2π	(1, 0)	1	0

Co je zajímavé na 0° a 360°?

Jde o jinou velikost orientovaného úhlu, ale koncové rameno skončí ve stejném směru a bod na kružnici je stejný. Proto mají sinus i kosinus stejné hodnoty.

29–35 min

5. Znaménka v kvadrantech – bez počítání

Kvadrant	x = cos α	y = sin α
I.	+	+
II.	−	+
III.	−	−
IV.	+	−

Úhel 140° leží ve II. kvadrantu. Jaká znaménka mají sin 140° a cos 140°?

Řešení a zdůvodnění

sin 140° je kladný, protože bod leží nad osou x (y > 0). cos 140° je záporný, protože bod leží vlevo od osy y (x < 0).

35–40 min

6. Práce s chybou – palubní AI se spletla

„Odpověď AI“: Pro úhel 210° platí sin α > 0 a cos α < 0, protože úhel je větší než 180°.

Najdi chybu bez kalkulačky

210° leží ve III. kvadrantu. Bod je vlevo od osy y a pod osou x, takže x i y jsou záporné. Proto cos 210° < 0 a sin 210° < 0. Samotné tvrzení „úhel je větší než 180°“ nestačí.

Nejde o výpočet přesné hodnoty. Cílem je naučit žáky kontrolovat znaménko geometricky.

40–43 min

7. Mini výzva ve dvojici

Bez kalkulačky rozhodněte:

Úhel	Kvadrant / osa	Znaménko sin	Znaménko cos
60°	?	?	?
120°	?	?	?
225°	?	?	?
330°	?	?	?

Řešení

60°: I., sin +, cos +. 120°: II., sin +, cos −. 225°: III., sin −, cos −. 330°: IV., sin −, cos +.

43–45 min

8. Exit ticket

Odpověz bez kalkulačky:
1. Co znamená „jednotková“ kružnice?
2. Doplň: P = (___ α, ___ α).
3. Jaké jsou sin 90° a cos 90°?
4. Ve kterém kvadrantu jsou sin i cos záporné?
5. Jaké znaménko má cos 300°?
6. 🟢 zvládám | 🟡 potřebuji procvičit | 🔴 potřebuji znovu vysvětlit

Řešení

1. Má poloměr 1 a střed v počátku. 2. P = (cos α, sin α). 3. sin 90° = 1, cos 90° = 0. 4. Ve III. kvadrantu. 5. Kladné.

Návaznost

Dnes jsme zavedli jednotkovou kružnici a geometrický význam sinu a kosinu. V dalších hodinách doplníme hodnoty pro významné úhly, rozšíříme pohled na tangens a kotangens a budeme připravovat přechod ke grafům a vlastnostem goniometrických funkcí.

Doporučené výukové aplikace

GeoGebra

Posuvník pro úhel α a pohyb bodu po jednotkové kružnici. Zobrazení souřadnic bodu umožní okamžitě sledovat změnu sin α a cos α.

EDUvia4X®

Vesmírná mise může procvičit základní body kružnice, znaménka v kvadrantech a propojení stupňů s radiány.

Dokumentace probíraného učiva

7. hodina: Jednotková kružnice – střed v počátku, poloměr 1; bod P = (cos α, sin α); základní osové úhly; znaménka sinu a kosinu v jednotlivých kvadrantech; propojení stupňové a obloukové míry.