MatematikaGoniometrie a trigonometrie45 minutEDUvia4X®

Stejný úhel, dva jazyky

6. vyučovací hodina: stupňová a oblouková míra – radián, vztah 180° = π rad a převody mezi stupni a radiány.

Školní rok 2026/2027 • realizace: 21. 9. 2026

V minulé hodině jsme chápali sinus a kosinus jako funkce, jejichž vstupem je úhel. Dnes zpřesníme, jak lze tentýž úhel zapsat dvěma způsoby: ve stupních a v radiánech. Tím uzavřeme práci s orientovaným úhlem a připravíme se na další studium goniometrických funkcí.

Cíle, kritéria úspěchu a způsob práce

Vzdělávací cíl

Žák rozumí radiánu jako přirozené jednotce úhlu, používá vztah 180° = π rad a převádí běžné orientované úhly mezi stupňovou a obloukovou mírou.

Kritéria úspěchu

vysvětlím, co znamená 1 radián,
odvodím vztah 360° = 2π rad a 180° = π rad,
převedu základní úhly ze stupňů na radiány a zpět,
zvládnu i záporný úhel nebo úhel větší než 360°,
poznám, kdy má být kalkulačka v režimu DEG a kdy RAD.

Rozvíjené kompetence

k učení – propojení geometrického významu s novou jednotkou,
k řešení problémů – volba správného převodního vztahu,
komunikativní – zdůvodnění převodu vlastními slovy,
digitální – správná volba režimu kalkulačky a kritická kontrola výsledku.

Formativní hodnocení

Predikce, párové převody, práce s chybou, rychlá kontrola bez kalkulačky, miniúloha a exit ticket.

Pilíře EDUvia4X® v hodině

🧭 Mentorství

Učitel neoznamuje převodní vzorce jako hotové pravidlo, ale nechá žáky odvodit vztah z celé kružnice: 360° odpovídá délce oblouku 2πr.

🧠 Kritické myšlení

Žák posuzuje, zda je výsledek převodu přiměřený: například 90° musí být méně než π rad a více než 1 rad.

🤖 Digitální nástroje / AI

Kalkulačka nebo AI slouží ke kontrole. Žák nejprve převede sám a teprve potom výsledek ověří.

⚖️ Etika

Digitální nápověda nenahrazuje vlastní řešení. Žák dokáže uvést, co vypočítal sám a co pouze ověřoval.

🎯 Sebehodnocení

Na konci označí, zda bezpečně převádí v obou směrech a zda rozlišuje režimy DEG a RAD.

6. hodina – Stupňová a oblouková míra

Cíl: Žák chápe, že stejný orientovaný úhel lze vyjádřit ve stupních i radiánech, a umí mezi oběma zápisy převádět.

0–5 min

1. Aktivace – co vlastně zadáváme funkci?

Minule byl vstupem funkce úhel. Co znamená zápis sin(90) v počítačovém programu – 90° nebo 90 radiánů?

Rozklikni po odpovědích žáků

Samotné číslo 90 nestačí. Musíme vědět, v jaké jednotce je úhel zadán. Ve školní matematice často používáme stupně, ale mnoho programovacích a technických nástrojů používá radiány.

Most z minulé hodiny: Funkce přijímá úhel. Dnes se učíme dvě různé „řeči“, kterými lze tentýž úhel zapsat.

5–13 min

2. AHA moment – odkud se bere radián?

Na kružnici o poloměru r vezmeme oblouk délky právě r. Středový úhel, který tento oblouk vymezuje, má velikost 1 radián.

1 rad: délka oblouku s = r

Celý obvod kružnice je 2πr, takže při celé otočce „napočítáme“ 2π takových oblouků.

360° = 2π rad 180° = π rad

Kontrolní otázka → Kolik radiánů má čtvrt otáčky?

Čtvrt otáčky je 90°, tedy π/2 rad.

13–22 min

3. Převodní most

Stupně → radiány

α° · π/180

Radiány → stupně

β · 180/π

Stupně	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radiány	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π

Strategie: Nejprve zkus úhel odvodit z 180° = π rad. Vzorec používej až tehdy, když přímý poměr není zřejmý.

22–30 min

4. Společně a potom ve dvojici

Převeďte. Nejdřív odhadněte, zda má být výsledek menší nebo větší než π.

Zadání	Výsledek	Rychlá kontrola
150°	5π/6 rad	méně než 180° → méně než π
−90°	−π/2 rad	záporný směr zůstává záporný
5π/6 rad	150°	5/6 z 180°
7π/4 rad	315°	méně než 2π → méně než 360°

Bonus → 450° v radiánech

450° · π/180 = 5π/2 rad. Je to jedna celá otočka a ještě 90°.

30–37 min

5. Kritická miniúloha – oprav palubní AI

„Odpověď AI“: 60° = π/2 rad a 3π/2 rad = 180°.

Najdi dvě chyby a oprav je

Správně: 60° = π/3 rad a 3π/2 rad = 270°. Rychlá kontrola: 60° je třetina ze 180°, proto musí být třetina z π. A 3π/2 je jeden a půl násobek 180°, tedy 270°.

EDUvia4X®: Poměr k 180° a k π je rychlá kontrola, která často odhalí chybu bez kalkulačky.

37–42 min

6. Proč technika používá radiány?

Radiány přirozeně spojují úhel s délkou oblouku a proto se objevují ve fyzice, programování i technice. Mnoho programovacích knihoven očekává úhel právě v radiánech.

Python: math.sin(math.pi/6) → 0.5
math.sin(30) ≠ sin 30° (30 je zde chápáno jako 30 rad)

Kalkulačka: DEG = stupně, RAD = radiány. Správný vzorec ve špatném režimu může dát zcela chybný výsledek.

42–45 min

7. Exit ticket

Odpověz bez kalkulačky:
1. Doplň: 180° = ___ rad.
2. Převeď 90° na radiány.
3. Převeď π/3 rad na stupně.
4. Je −45° rovno −π/4 rad?
5. Kdy na kalkulačce použiješ režim RAD?
6. 🟢 zvládám | 🟡 potřebuji procvičit | 🔴 potřebuji znovu vysvětlit

Řešení

1. π. 2. π/2 rad. 3. 60°. 4. Ano. 5. Když je úhel zadán v radiánech.

Návaznost

Hodina doplňuje práci s orientovaným úhlem o obloukovou míru a uzavírá převody mezi nejčastějšími zápisy úhlu. V dalších hodinách se vrátíme ke goniometrickým funkcím a budeme jejich hodnoty, grafy a vlastnosti zkoumat i v obloukové míře.

Doporučené výukové aplikace

EDUvia4X®

Vesmírná mise pro samostatné procvičení převodů, práci s chybou a rozlišení režimů DEG/RAD.

GeoGebra

Vhodná pro vizuální propojení oblouku, středového úhlu a hodnot v radiánech na jednotkové kružnici.

Doporučené výukové aplikace: EDUvia4X® a GeoGebra.

Dokumentace probíraného učiva

6. hodina: Stupňová a oblouková míra – význam radiánu, vztahy 360° = 2π rad a 180° = π rad, převody mezi stupni a radiány, orientované úhly a správná volba režimu DEG/RAD.