MatematikaGoniometrie a trigonometrie45 minutEDUvia4X®

Úhel jako vstup, číslo jako výstup

5. vyučovací hodina: úvod do goniometrických funkcí – od jednotkové kružnice k funkčnímu pohledu na sinus a kosinus.

Školní rok 2026/2027 • realizace: 18. 9. 2026

Navazujeme na orientovaný úhel a jednotkovou kružnici. Žák už ví, že cos α = x a sin α = y; nyní z tohoto vztahu vytvoříme představu funkce, všimneme si oboru hodnot a periodicity a připravíme půdu pro další práci s goniometrickými funkcemi.

Cíle, kritéria úspěchu a způsob práce

Vzdělávací cíl

Žák chápe sinus a kosinus jako funkce, které každému přípustnému úhlu přiřazují právě jednu číselnou hodnotu, a dokáže jejich základní vlastnosti vyčíst z jednotkové kružnice.

Kritéria úspěchu

vysvětlím, co je vstupem a výstupem goniometrické funkce,
určím sin α a cos α pro základní úhly,
zdůvodním, proč hodnoty sinu a kosinu leží v intervalu [-1;1],
poznám opakování hodnot po 360°,
ověřím výsledek kalkulačkou a zkontroluji režim DEG.

Rozvíjené kompetence

k učení – propojení nové látky s předchozím modelem,
k řešení problémů – hledání pravidel z tabulky a kružnice,
komunikativní – zdůvodnění vlastností vlastními slovy,
digitální – správné a kritické použití kalkulačky / digitálního nástroje.

Formativní hodnocení

Predikce, krátké hlasování, párové zdůvodnění, samostatná miniúloha, kontrola kalkulačkou a exit ticket.

Pilíře EDUvia4X® v hodině

🧭 Mentorství

Učitel vede žáky od známého vztahu cos α = x, sin α = y k pojmu funkce otázkami, nikoli hotovou definicí.

🧠 Kritické myšlení

Žák ověřuje tvrzení typu „sinus může být 1,4“ nebo „sin 30° = sin 390°“ a musí uvést důvod.

🤖 Digitální nástroje / AI

Kalkulačka či AI slouží ke kontrole. Žák nejprve odhadne znaménko a rozsah výsledku, teprve potom ověřuje.

⚖️ Etika

Při misi žák rozliší vlastní řešení od digitální nápovědy a uvede, co ověřoval.

🎯 Sebehodnocení

Na konci označí, zda umí vysvětlit funkční pohled, obor hodnot a periodicitu.

5. hodina – Úvod do goniometrických funkcí

Cíl: Žák přejde od geometrického významu sinu a kosinu k funkčnímu pohledu: úhel α je vstup, sin α nebo cos α je číselný výstup.

0–5 min

1. Aktivace – co už umíme?

Bod P na jednotkové kružnici má souřadnice [x,y]. Co nám říkají x a y?

Rozklikni po odpovědích žáků

cos α = x a sin α = y. Z polohy koncového ramene tedy získáváme dvě číselné hodnoty.

Most z minulé hodiny: Nezavádíme nový svět; pouze se na známý vztah díváme jako na přiřazení vstup → výstup.

5–13 min

2. AHA moment – goniometrická funkce jako „stroj“

Vstup
úhel α

Výstup
číslo sin α nebo cos α

α → sin α α → cos α

Kontrolní otázka → Může mít jeden konkrétní úhel dvě různé hodnoty sin α?

Ne. Funkce přiřazuje každému vstupu právě jednu hodnotu. Například sin 30° má jednu konkrétní hodnotu: 0,5.

Pojmové ukotvení: Sinus a kosinus jsou funkce reálné proměnné. V této hodině pracujeme převážně ve stupních; radiány přijdou později podle návaznosti ŠVP.

13–22 min

3. Z tabulky objevujeme pravidla

α	0°	90°	180°	270°	360°
sin α	0	1	0	−1	0
cos α	1	0	−1	0	1

Co z tabulky a kružnice dokážeme tvrdit?

sin α i cos α jsou vždy mezi −1 a 1,
po celé otočce se hodnoty opakují,
sinus a kosinus mohou být kladné, záporné i nulové.

−1 ≤ sin α ≤ 1 −1 ≤ cos α ≤ 1

sin(α+360°)=sin α cos(α+360°)=cos α

22–30 min

4. Predikce → kalkulačka → kontrola

Nejdřív bez kalkulačky určete znaménko a přibližný rozsah, potom hodnotu ověřte.

α	Nejdřív odhad	Kontrola
30°	sin +, cos +	sin 30° = 0,5; cos 30° ≈ 0,866
120°	sin +, cos −	sin 120° ≈ 0,866; cos 120° = −0,5
225°	sin −, cos −	sin 225° ≈ −0,707; cos 225° ≈ −0,707

Pozor na režim kalkulačky: Pro úhly ve stupních musí být nastaveno DEG. Výsledek, který odporuje kvadrantu nebo intervalu [-1;1], je signál ke kontrole.

30–37 min

5. Kritická miniúloha – odhal chybu

„Odpověď AI“: sin 150° = 1,32 a cos 150° = −0,87.

Co je na odpovědi podezřelé ještě před přesným výpočtem?

Hodnota sin 150° = 1,32 je nemožná, protože sinus může nabývat jen hodnot od −1 do 1. Navíc 150° leží ve II. kvadrantu, takže sin je kladný a cos záporný. Správně: sin 150° = 0,5 a cos 150° ≈ −0,866.

EDUvia4X®: digitální nástroj není autorita. Matematické vlastnosti slouží jako rychlá kontrola věrohodnosti.

37–42 min

6. Most do dalších hodin – jak vypadá funkce?

Pokud budeme úhel postupně zvětšovat a zapisovat hodnoty sinu nebo kosinu, vznikne graf. Z kružnice už dokážeme předpovědět, že se bude opakovat a zůstane mezi −1 a 1.

Jak asi bude vypadat graf sinu od 0° do 360°?

Krátká nápověda

Začíná v 0, roste k 1, vrací se do 0, klesá k −1 a vrací se do 0. Přesný graf budeme dále rozvíjet při studiu vlastností goniometrických funkcí.

42–45 min

7. Exit ticket

Odpověz bez kalkulačky:
1. Co je vstupem a co výstupem funkce sin α?
2. Může platit cos α = −1,2? Proč?
3. Co očekáváš pro sin 390° ve srovnání se sin 30°?
4. 🟢 zvládám | 🟡 potřebuji procvičit | 🔴 potřebuji znovu vysvětlit

Řešení

1. Vstup: úhel α; výstup: číslo sin α. 2. Ne, cos α ∈ [-1;1]. 3. Hodnoty jsou stejné, protože 390° = 30° + 360°.

Návaznost

Dnešní hodina formalizuje sinus a kosinus jako funkce. V dalších hodinách lze rozvíjet grafy a vlastnosti goniometrických funkcí, práci s dalšími funkcemi a následně využít goniometrii při určování stran a úhlů v trojúhelníku, včetně věty sinové a kosinové. Později se žáci vrátí ke goniometrickým rovnicím a úpravám výrazů.

Doporučené výukové aplikace

EDUvia4X®

Mise pro samostatné ověření porozumění, argumentaci a práci s chybou.

Techambition

Vhodné pro vizualizaci jednotkové kružnice, grafů a změn hodnot při pohybu úhlu.

Doporučené výukové aplikace: EDUvia4X® a Techambition.

Dokumentace probíraného učiva

5. hodina: Úvod do goniometrických funkcí – sinus a kosinus jako přiřazení úhel → číselná hodnota, obor hodnot [-1;1], periodicita 360°, základní hodnoty a kritická kontrola výsledků pomocí kvadrantu a kalkulačky.